A. Ecuaţia fibrei medii deformate

Pe baza cunoştinţelor de geometrie diferenţială se poate scrie relaţia cu care se calculează raza de curbură a graficului funcţiei (oarecare) v(x):

Trebuie făcută remarca, asupra factorului care se înmulţeşte cu v’’(x) în membrul drept al acestei relaţii, că valoarea lui este foarte apropiată de 1 (altfel spus termenul v’²(x) poate fi neglijat, sub radical) pentru grinzile uzuale, ale căror rotiri sunt cel mult de câteva grade.

De exemplu, având în vedere că nivelul de eroare acceptabil, în calculele obişnuite, este de 2%, dacă se dă mărimii v’²(x) valoarea 0,02, se obţine că unghiul de rotire din secţiunea de calcul trebuie să fie j(x)=8 grade. Această rotire este mare, faţă de valorile normale, deci este cu totul acceptabil să se egaleze cu 1 factorul de mai sus. Ca atare, se poate admite că este adevărată relaţia

Pe de altă parte, la demonstrarea relaţiei lui Navier s-a obţinut relaţia (8.3), din care se poate deduce că:

iar prin compararea ultimelor două relaţii se obţine următoarea ecuaţie:

(8.12)

Pentru bara solicitată la încovoiere, aceasta reprezintă ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate sau ecuaţia lui Euler, pe baza căreia se pot studia deformaţiile barei.

Observaţii:

1. Produsul (E×I_z) se numeşte rigiditatea barei la încovoiere şi constituie un parametru important în calculul deformaţiilor la această solicitare.

Semnul negativ din membrul drept arată că un moment încovoietor concentrat care, prin convenţie, este considerat pozitiv (adică roteşte “în sus” marginile barei, în raport cu secţiunea de calcul) produce, după cum se poate deduce şi urmărind schiţa din figura 8.22, curbarea barei cu partea convexă spre sensul pozitiv al axei (y). Dacă se asimilează forma curbată a barei cu graficul funcţiei v(x), rezultă că derivata a doua a acestei funcţii este negativă (curba “nu ţine apă”).