B. Calculul deformaţiilor la încovoiere prin integrarea directă a ecuaţiei lui Euler

Funcţiile de variaţie pe axa longitudinală a deplasărilor unghiulare j(x) şi liniare v(x) ale secţiunilor transversale ale unei grinzi oarecare pot fi stabilite prin integrarea directă a ecuaţiei (8.12) a fibrei medii deformate.

Datorită legăturilor care există între cele două funcţii de mai sus, o primă operaţie de integrare a ecuaţiei lui Euler conduce la expresia funcţiei rotirilor, iar o a doua integrare face să se obţină funcţia deplasărilor liniare.

Fiind vorba despre integrale nedefinite, în expresiile respective vor fi introduse două constante de integrare, câte una pentru fiecare operaţie.

Atenţie! Ecuaţia (8.12) conţine expresia funcţiei momentelor de încovoiere M_iz(x), care este particulară pentru oricare regiune a barei. Prin urmare, şi expresiile funcţiilor deplasărilor vor fi specifice fiecărei regiuni, adică se vor obţine câte două constante de integrare pentru fiecare regiune. Pentru o bară pe care au fost separate (m) regiuni, va fi nevoie să se determine un număr de (2m) constante!

Valorile acestor constante de integrare se calculează folosind două categorii de condiţii care trebuie să fie îndeplinite de grindă după aplicarea solicitării de încovoiere, adică în starea deformată:

1. Condiţiile la limită exprimă egalitatea cu zero a deplasării liniare a barei (v=0) în dreptul unui reazem simplu, respectiv a ambelor tipuri de deplasări (v=0 şi j=0) în secţiunea fixată printr-un reazem încastrat. Prin urmare, se vor putea scrie două condiţii – în reazemul încastrat, respectiv una singură – în cel simplu.

2. Condiţiile de continuitate arată că, în secţiunile transversale situate la graniţa dintre două regiuni, valorile deplasărilor trebuie să fie unice, indiferent de ecuaţia (deci de regiunea adiacentă acelei graniţe) pe care se face calculul. Se poate constata că se vor putea scrie câte două astfel de condiţii pentru fiecare dintre cele (m–1) graniţe dintre regiuni.

Rezultă că se obţine un sistem (de 2m ecuaţii cu 2m necunoscute) care permite stabilirea constantelor de integrare, deci şi a expresiilor concrete ale funcţiilor deplasărilor pe întreaga lungime a barei.

Trebuie evidenţiat faptul că metoda integrării directe are avantajul important că permite găsirea acestor expresii (ca funcţii de variaţie pe lungimea grinzii), deci şi calculul deplasărilor în oricâte secţiuni transversale ale barei – prin simpla înlocuire a valorii coordonatei (x) în expresia corespunzătoare (regiunii de care aparţine acea secţiune) a deplasării studiate.

Pe de altă parte, cel mai important inconvenient al metodei este reprezentat de necesitatea de a rezolva sistemul de ecuaţii (în număr dublu faţă de cel al regiunilor delimitate pe bară) pentru stabilirea constantelor de integrare.