Aplicaţii: Calculul
reacţiunilor în probleme static determinate
Fig. 1.5. |
1.1. Bara din fig. 1.5 este articulată în capătul din
stânga, (punctul 1) şi simplu rezemată în punctul 2. Cele trei
reacţiuni, toate de tip forţă, s-au notat H1, V1
şi V2.
Solicitarea
exterioară include o forţă verticală (
Aşa cum s-a explicat mai sus, se preferă
rezolvarea literală, deci toate calculele vor include forţele
exprimate în funcţie de parametrul (arbitrar, dar fixat) notat cu (F).
Rezolvare
Se
alege punctul 1 ca reper pentru scrierea ecuaţiei de echilibru pentru
momente, astfel încât cele trei ecuaţii ale problemei se vor scrie astfel:
Din
aceste ecuaţii se pot deduce valorile (literale) ale reacţiunilor H1
şi V2, precum şi o relaţie între cele două
reacţiuni verticale:
(1.9)
Au fost utilizate toate cele trei ecuaţii de echilibru care
pot fi scrise în acest caz de solicitare. Totuşi, echilibrul momentelor
poate fi exprimat în raport cu oricare punct din planul longitudinal al barei
(coincident cu planul desenului). De aici rezultă că reacţiunea
V1 ar putea fi calculată separat, din ecuaţia de momente
scrisă în raport cu un punct din plan diferit de punctul 1, ales
iniţial. De obicei se preferă cel de-al doilea reazem al barei,
pentru ca reacţiunea deja calculată să nu apară în noua
ecuaţie.
Acest
lucru nu înseamnă că se pot scrie mai multe ecuaţii de momente,
independente între ele, adică ecuaţiile de echilibru semnificative
rămân în număr de trei. Este vorba doar despre scrierea uneia dintre
ecuaţii sub două forme. Această metodă are avantajul
că ecuaţia rămasă neutilizată (SYi = 0) va deveni relaţie de verificare
a valorilor calculate ale reacţiunilor, contribuind la .menţinerea
controlului asupra corectitudinii rezolvării.
Pentru aplicaţia propusă, ecuaţia de momente
faţă de axa (z) din punctul 2 este: (1.10)
Cea
de-a doua reacţiune verticală se obţine: V1 = F/2 + F sina (1.11)
Se observă că suma celor două reacţiuni V este
(
Reacţiunile care acţionează
pe bara din figura (1.5) sunt deci următoarele:
H1 = F (–5 + 2 cosa) ; V1
= F (1/2 + sina) ; V2 = F (5/2 + sina)
Fig. 1.6. |
1.2. Bara din figura 1.6 este încărcată numai cu momente de
răsucire concen-trate, adică vectori de tip moment care au
direcţia axei barei. Rezultă că, dintre cele şase
reacţiuni posibile în reazemul încastrat, va fi semnificativă doar
cea de tip moment de răsucire (Mt1). Oricare alta nu are vreo
solicitare oponentă pe bara considerată, deci va fi nulă.
¨ Momentele de răsucire produc rotiri ale
secţiunilor în care acţionează, în plane perpendiculare pe axa
barei, astfel încât ele se reprezintă, convenţional, prin arce de
cerc (cu săgeţi care indică sensul rotirii) “turtite”, spre a fi
deosebite de momentele care produc rotiri în alte plane decât cele
transversale.
¨ Folosind în continuare calculele literale, toate
momentele se exprimă în funcţie de parametrul (arbitrar, dar fixat)
notat cu (Mt).
Rezolvare
Pentru
solicitările de acest fel se poate scrie o singură ecuaţie de
echilibru:
(1.12)
Pentru
problemele static determinate (cu o singură necunoscută),
această ecuaţie conduce imediat la finalizarea calculelor. Aici: Mt1 = –7 Mt
¨ După cum a reieşit şi din rezolvarea
problemei 1.1, în scrierea ecuaţiilor de echilibru nu sunt necesare
convenţii de semne, deoarece este vorba despre sume de termeni egale cu
zero. Aceste ecuaţii pot fi oricând înmulţite cu numărul (–1),
schimbând astfel semnele tuturor termenilor. În principiu, primul
termen al unei asemenea ecuaţii se consideră pozitiv, iar
ceilalţi termeni vor avea semnele rezultate din comparaţia cu primul.
¨ Sensurile reacţiunilor se aleg arbitrar, la
începutul rezolvării, fără vreo implicaţie specială
asupra calculelor. Cele care acţionează, în realitate, în sens
contrar celui de pe desenul barei, vor rezulta din calcule cu semnul (–) (ca în
problema 1.2 de mai sus), ceea ce nu prezintă nici un inconvenient pentru
etapele ulterioare ale rezolvării problemelor de rezistenţa
materialelor.
Fig. 1.7. |
1.3. Bara din figura 1.7 este sprijinită pe un reazem simplu (în
punctul 2) şi pe o articulaţie (în 1) şi încărcată cu
o forţă concentrată verticală (F = 5qa), un moment
concen-trat (M = 4qa2), de sens orar (în planul desenului), o
forţă distribuită uniform, de intensitate (q), pe lungimea (4a),
precum şi o forţă distribuită liniar, pe lungimea (3a),
având intensităţile extreme 0 şi (2q).
¨ Pe desen s-au reprezentat şi abscisele
centrelor de greutate ale încărcărilor distribuite, care vor fi
utilizate în calculele de mai jos.
¨ Momentul concentrat (M) produce rotirea barei, în
jurul direcţiei momentului, în planul desenului (adică solicitare de
încovoiere în jurul axei (z) din punctul în care se aplică M), astfel
că se reprezintă printr-un arc de cerc (cu săgeată de sens)
“real” (nedeformat).
¨ Aşa cum s-a explicat mai sus, prezenţa
forţelor distribuite implică necesitatea exprimării
solicitărilor în funcţie de parametrii (q) şi (a). Este de
precizat faptul că acest fel de exprimare este posibil în oricare caz
concret de solicitare, făcându-se raportul între mărimile concrete
ale forţelor şi momentelor concentrate de pe bară şi valorile
mărimilor [qa], respectiv [qa2], exprimate numeric, în
funcţie de datele problemei.
Exemplu: Să
presupunem că, pentru problema considerată, se dau valorile a=0,2m
şi q=20kN/m, iar sarcinile concentrate sunt M=3,2kNm şi F=20kN.
Produsele de mai sus vor avea valorile qa=4kN şi qa2=0,8kNm.
Rezultă:
M = 4qa2 şi F = 5qa.
Este
evident că aceste rapoarte pot fi calculate în orice problemă de
acest fel, iar eventualele lor valori fracţionare nu
influenţează calculele ulterioare.
Rezolvare
Pe
bară apar trei reacţiuni, toate de tip forţă, notate cu H1,
V1 şi V2. Cele trei ecuaţii de echilibru care
pot fi scrise fac ca problema să fie static determinată.
Pe de altă parte, echilibrul proiecţiilor de forţe
pe direcţie orizontală se scrie, simplu, H1=0, deci în
problemă există doar două necunoscute, dar şi numai
două ecuaţii de echilibru semnificative.
Echilibrul proiecţiilor verticale ale forţelor conduce
(ţinând seama că rezultanta unei forţe distribuite este
egală numeric cu aria geometrică a desenului încărcării) la
următoarea ecuaţie:
(1.13)
După reducerea termenilor
asemenea, se obţine: V1–V2 = 4qa (1.14)
La fel
ca la problema 1.1, se preferă calculul independent al celor două
reacţiuni, din ecuaţiile de echilibru al momentelor faţă de
cele două reazeme (la care se ţine seama de poziţiile centrelor
de greutate ale încărcărilor distribuite, deci ale rezultantelor de
tip forţă ale acestora):
Ca
principiu, scrierea acestor ecuaţii se începe cu solicitările
dintr-un capăt al barei, studiindu-se apoi efectul fiecărei
încărcări, ca moment în raport cu punctul considerat, pe măsura
parcurgerii imaginare a barei către celălalt capăt al ei.
Rezultat După reducerea
termenilor asemenea în ecuaţiile de mai sus se ajunge la următoarele
valori ale reacţiunilor verticale:
V1 = (17/6) qa V2
= (–7/6) qa
Verificare V1–V2 = (24/6) qa =
4qa adevărat, conform (1.14)
deci rezultatele obţinute sunt
corecte.
Concluzii (pentru barele drepte, static determinate, cu încărcări
care produc efecte în planul desenului)
· Dacă nu există pe bară forţe
exterioare de direcţie diferită de verticală, atunci
reacţiunea orizontală din articulaţie este nulă.
· Forţele distribuite de o parte şi de alta
faţă de un reazem pot fi luate în calcul ca şi cum ar fi
divizate în două forţe distincte (prin ariile şi centrele de
greutate ale figurilor geometrice respective), dar cel mai simplu este să
se considere efectul lor global.
Fig. 1.8 |
1.4. Bara din figura 1.8 are axa cotită, fiind formată din
două segmente verticale, de lungimi (a) şi (3a) şi unul
orizontal de lungime (4a). Capătul 1 este articulat, iar 2 – simplu
rezemat, pe verticală.
Sarcinile
sunt:
· un moment concentrat (M=3qa2), de sens
antiorar;
· o forţă distribuită uniform, de
intensitate (q), pe lungimea (4a);
· o forţă distribuită liniar, pe
lungimea (3a), cu valorile extreme 0 şi (2q).
Este evidentă similitudinea acestui caz de solicitare, în
privinţa schematizării barei şi încărcărilor ei, cu
situaţia din problema precedentă. Calculele vor fi diferite numai
pentru că axa acestei bare nu are aceeaşi direcţie pe toată
lungimea ei.
Rezolvare
Cele
trei reacţiuni, de tip forţă, s-au notat cu H, V1
şi V2.
Echilibrul
proiecţiilor de forţe pe cele două direcţii ale planului se
scrie:
(1.15)
Cele
două reacţiuni verticale se calculează independent, scriind
echilibrul momentelor faţă de cele două reazeme, astfel:
Rezultat După reducerea
termenilor asemenea (înlocuind pe H1 cu 3qa), se ajunge la
următoarele valori ale reacţiunilor:
V1 = (12/5) qa V2 = (8/5) qa H1
= 3qa
Verificare V1
+ V2 = (20/5) qa = 4qa
adică rezolvarea a fost corectă, confirmând a doua
ecuaţie (1.15).