Exemplu de calcul

Fig. 6.5.

 

6.1. Se consideră o bară cilindrică în consolă, formată din două tronsoane de diametre şi lungimi diferite şi solicitată prin două momente concentrate de răsucire (fig. 6.5).

     Se cere dimensionarea barei (adică să se determine valoarea necesară a para-metrului d), dacă Mt=20kNm, iar ta=120MPa.

 

Se observă că se menţine exprimarea parametrică a datelor problemei, deci şi rezolvarea ei se va face literal, cu respectarea principiilor de calcul explicate anterior.

Pe de altă parte, este important să fie remarcată, în toate paragrafele acestui capitol, similitudinea dintre raţionamentele făcute în legătură cu solicitările axiale şi cele de la răsucire. Ea se datorează faptului că ambele categorii de solicitări sunt produse prin vectori (forţe, respectiv momente) care au direcţia axei longitudinale a barei.

 

Rezolvare

 

Punctele de aplicare a momentelor delimitează pe bară două regiuni, iar saltul de secţiune de la interfaţa tronsoanelor conduce la apariţia celei de-a treia (fig. 6.6).

 

Fig. 6.6.

 

Se alege varianta de măsurare a variabilei x de la capătul din dreapta al fiecărei regiuni, aşa cum se arată în figură.

Bara este solicitată numai prin momente de direcţie axială, deci în încastrare există un singur tip de reacţiune, momentul M, iar singura ecuaţie de echilibru semnificativă se scrie:

M – 12Mt + 7Mt = 0

   de unde rezultă că    M = 5Mt.

Acest rezultat arată că reacţiunea are, în mod real, sensul indicat pe desen.

 

A. Trasarea diagramelor

 

Se trece la stabilirea parametrilor solicitării, pe regiuni. Se reaminteşte că nu există o diferenţă de efecte între cele două sensuri posibile ale momentelor de răsucire, astfel încât semnele eforturilor de acest tip sunt cu totul arbitrare. Singura condiţie care trebuie avută în vedere este ca rezultatul calculelor să fie acelaşi, indiferent de poziţia faţă de secţiune a părţii de bară de pe care se sumează încărcările. Din acest motiv, convenţia de semne pentru partea din dreapta trebuie să fie inversă celei din partea stângă!

 

     Pentru         x1Î(0; 3L)       efortul axial este   Mt(x1) = 7Mt = ct.

 

Acest calcul s-a făcut pentru încărcările din partea dreaptă faţă de secţiune, considerând pozitive momentele de sensul celui din capătul barei, adică acelea care, privind dinspre dreapta, rotesc bara în sens orar.

Dacă se verifică şi suma momentelor din partea stângă, inversând convenţia de semne, se obţine:

Mt(x1) = –5Mt + 12Mt = 7Mt

 

   ceea ce confirmă cerinţa de a se respecta regula menţionată mai sus.

Folosind simplificarea scrierii, prin notaţia

, se calculează modulul de rezistenţă polar al secţiunilor transversale de pe primul tronson al barei, astfel:


 

Tensiunile maxime din această primă regiune se determină cu o relaţie de forma (6.6), adică:


 

Este uşor de remarcat că toate mărimile de calcul se exprimă în funcţie de parametri literali, ceea ce va înlesni compararea valorilor lor de pe diferite regiuni ale barei.

 

     Pentru cea de-a doua regiune, cu  x2Î(0; 2L), se obţin următoarele rezultate:

Mt(x2) = 7Mt = ct.    

 

     În fine, pentru  x3Î(0; 4L),  valorile sunt:

Mt(x3) = 7Mt – 12Mt = –5Mt = ct.  Wp(x3) =  8W 

 

Folosind aceste rezultate, se trasează diagramele din figura 6.6, făcând şi observaţiile ce urmează:

 

Pentru diagrama de efort de răsucire Mt(x)

 

Ř  Pe bară există două zone distincte, ca sens al eforturilor secţionale.

Ř  Graficul prezintă trei puncte de discontinuitate (salturi – indicate pe desen prin săgeţi cu linii punctate), care coincid ca punct de apariţie, mărime şi sens cu momentele concentrate de pe bară.

Ř  Saltul din dreptul reazemului confirmă valoarea reacţiunii M, precum şi sensul ei, acelaşi cu al momentului 7Mt, din capătul barei.

 

Se poate observa că, în problemele de acest tip, reacţiunea poate fi determinată direct, din diagrama de efort, fără a se mai scrie ecuaţia de echilibru, deci făcând rezolvarea mai rapidă.

Pe de altă parte, trebuie subliniat că simpla cunoaştere a efortului din secţiunile transversale ale barei nu este suficientă pentru a se evidenţia solicitarea maximă din piesă. Aceasta va fi influenţată de modulul de rezistenţă al secţiunii pe care se distribuie efortul, adică de valorile tensiunilor maxime din bară.

 

            Diagrama tensiunilor maxime tmax(x)

 

Ř  Acest grafic conţine trei zone distincte, care coincid cu regiunile de pe bară. Punctele de discontinuitate sunt determinate de modificarea valorilor Mt(x) şi Wp(x), deci salturile nu au o semnificaţie fizică.

Ř  Intensitatea solicitării este perfect vizibilă pe diagramă. Secţiunea periculoasă (în care bara se poate distruge, dacă parametrii ei sau ai încărcărilor sunt aleşi incorect) este oricare dintre secţiunile transversale de pe regiunea de mijloc a barei, de lungime (2L).

Ř  Calculele de rezistenţă se vor baza pe o relaţie de forma (6.6), astfel:

 

                   (6.9)

 

Observaţii

 

1.    Este interesant de subliniat că în această relaţie nu apare parametrul L, deci calculele de rezistenţă nu sunt influenţate de lungimea barei.

2.    Deoarece semnele eforturilor de răsucire sunt arbitrare, este suficientă scrierea unei singure relaţii de forma (6.6), pe baza valorii maxime, în modul, a tensiunii efective din piesă:

 

B. Dimensionarea barei

 

Din inecuaţia (6.9) rezultă, pe baza datelor problemei, că:


Pe această bază se adoptă o valoare convenabilă a parametrului d, cum ar fi, de exemplu,   dad=100mm.